माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान, अजमेर, विषय-गणित, कक्षा 10, ईकाई-4 निर्देशांक ज्यामिति COORDINATE GEOMETRY

निर्देशांक ज्यामिति

निर्देशांक ज्यामिति एक गणितीय शाखा है जो बिंदुओं, रेखाओं, वृत्तों और अन्य ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन करती है। निर्देशांक ज्यामिति में, बिंदुओं को एक समतल पर क्रमांकित किया जाता है, जिसे निर्देशांक तल कहा जाता है।

निर्देशांक तल

निर्देशांक तल एक काल्पनिक समतल है जिसमें दो अक्ष होते हैं, x-अक्ष और y-अक्ष। x-अक्ष को क्षैतिज अक्ष कहा जाता है और y-अक्ष को लंबवत अक्ष कहा जाता है।

बिंदुओं के निर्देशांक

निर्देशांक तल पर किसी भी बिंदु को दो संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है, जो बिंदु के x-अक्ष और y-अक्ष पर स्थित बिंदुओं से दूरी के बराबर होती हैं।

उदाहरण:

बिंदु (2, 3) के निर्देशांक इस प्रकार हैं:

• x-निर्देशांक = 2
• y-निर्देशांक = 3

यह बिंदु x-अक्ष से 2 इकाई की दूरी पर और y-अक्ष से 3 इकाई की दूरी पर स्थित है।

दूरी सूत्र

दूरी सूत्र दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है।

दूरी सूत्र:√((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)

जहाँ,

• x1 और x2 बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं।
• y1 और y2 बिंदुओं के y-निर्देशांक हैं।

उदाहरण:

बिंदुओं (2, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी ज्ञात करें।

हल:x1 = 2, x2 = 5, y1 = 3, y2 = 7 d = √((5 - 2)2 + (7 - 3)2) d = √(32 + 42) d = √(25 + 16) d = √41

अतः, बिंदुओं (2, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी √41 है।

विभाजन सूत्र

विभाजन सूत्र किसी रेखाखंड को एक दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है।

विभाजन सूत्र:x = (x1α + x2β)/(α + β) y = (y1α + y2β)/(α + β)

जहाँ,

• α और β अनुपात के गुणांक हैं।
• x1 और x2 रेखाखंड के प्रारंभिक बिंदु के x-निर्देशांक हैं।
• y1 और y2 रेखाखंड के प्रारंभिक बिंदु के y-निर्देशांक हैं।

उदाहरण:

रेखाखंड AB को 3:2 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें, जहाँ A = (2, 3) और B = (5, 7) हैं।

हल:x1 = 2, x2 = 5, y1 = 3, y2 = 7 α = 3, β = 2 x = (2 × α + 5 × β)/(α + β) y = (3 × α + 7 × β)/(α + β) x = (2 × 3 + 5 × 2)/(3 + 2) y = (3 × 3 + 7 × 2)/(3 + 2) x = 23/5 y = 27/5

दूरी सूत्र

दूरी सूत्र दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है। दूरी सूत्र का उपयोग किसी भी रेखाखंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है।

दूरी सूत्र:√((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)

जहाँ,

• x1 और x2 बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं।
• y1 और y2 बिंदुओं के y-निर्देशांक हैं।

उदाहरण:

बिंदुओं (2, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी ज्ञात करें।

हल:x1 = 2, x2 = 5, y1 = 3, y2 = 7 d = √((5 - 2)2 + (7 - 3)2) d = √(32 + 42) d = √(25 + 16) d = √41

अतः, बिंदुओं (2, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी √41 है।

विभाजन सूत्र

विभाजन सूत्र किसी रेखाखंड को एक दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है। विभाजन सूत्र का उपयोग एक दिए गए बिंदु से रेखाखंड की दूरी ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है।

विभाजन सूत्र:x = (x1α + x2β)/(α + β) y = (y1α + y2β)/(α + β)

जहाँ,

• α और β अनुपात के गुणांक हैं।
• x1 और x2 रेखाखंड के प्रारंभिक बिंदु के x-निर्देशांक हैं।
• y1 और y2 रेखाखंड के प्रारंभिक बिंदु के y-निर्देशांक हैं।

उदाहरण:

रेखाखंड AB को 3:2 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें, जहाँ A = (2, 3) और B = (5, 7) हैं।

हल:x1 = 2, x2 = 5, y1 = 3, y2 = 7 α = 3, β = 2 x = (2 × α + 5 × β)/(α + β) y = (3 × α + 7 × β)/(α + β) x = (2 × 3 + 5 × 2)/(3 + 2) y = (3 × 3 + 7 × 2)/(3 + 2) x = 23/5 y = 27/5

अतः, रेखाखंड AB को 3:2 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक (23/5, 27/5) हैं।

दूरी सूत्र और विभाजन सूत्र का उपयोग विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।

दूरी सूत्र

सिद्धांत

दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का एक अनुप्रयोग है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, किसी समकोण त्रिभुज की कर्ण की लंबाई उसके अन्य दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होती है।

व्यावहारिक उदाहरण

दूरी सूत्र का उपयोग किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें किसी शहर के दो स्थानों के बीच की दूरी ज्ञात करनी है, तो हम दूरी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

याद रखने का तरीका

दूरी सूत्र को याद रखने के लिए, हम निम्नलिखित गणितीय व्यंजक को याद कर सकते हैं:d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)

यह व्यंजक हमें बताता है कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके x-निर्देशांकों और y-निर्देशांकों के अंतर के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है।

प्रश्न हल करने का तरीका

दूरी सूत्र का उपयोग करके, हम निम्नलिखित प्रकार के प्रश्नों को हल कर सकते हैं:

• दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना।
• किसी रेखाखंड की लंबाई ज्ञात करना।
• किसी बिंदु से किसी रेखा तक की दूरी ज्ञात करना।

इतिहास

दूरी सूत्र का उपयोग पहली बार प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस ने किया था। पाइथागोरस प्रमेय को “पाइथागोरस की परिकल्पना” भी कहा जाता है।

विभाजन सूत्र

सिद्धांत

विभाजन सूत्र किसी रेखाखंड को एक दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है।

व्यावहारिक उदाहरण

विभाजन सूत्र का उपयोग किसी रेखाखंड को बराबर भागों में विभाजित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें किसी रेखाखंड को 3 बराबर भागों में विभाजित करना है, तो हम विभाजन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

याद रखने का तरीका

विभाजन सूत्र को याद रखने के लिए, हम निम्नलिखित गणितीय व्यंजक को याद कर सकते हैं:x = (x1α + x2β)/(α + β) y = (y1α + y2β)/(α + β)

यह व्यंजक हमें बताता है कि रेखाखंड को β:α के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक क्रमशः x1α/(α + β) और y1α/(α + β) होते हैं।

प्रश्न हल करने का तरीका

विभाजन सूत्र का उपयोग करके, हम निम्नलिखित प्रकार के प्रश्नों को हल कर सकते हैं:

• किसी रेखाखंड को एक दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।
• किसी बिंदु से किसी रेखाखंड की दूरी ज्ञात करना।

इतिहास

विभाजन सूत्र का उपयोग पहली बार प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने किया था। यूक्लिड का “एलिमेंट्स” गणित का सबसे प्रसिद्ध ग्रंथ है, जिसमें विभाजन सूत्र का वर्णन किया गया है।

निष्कर्ष

दूरी सूत्र और विभाजन सूत्र निर्देशांक ज्यामिति के दो महत्वपूर्ण सूत्र हैं। इनका उपयोग विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। इन सूत्रों को अच्छी तरह से समझने और याद रखने से छात्रों को निर्देशांक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने में मदद मिलती है।