माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान, अजमेर, विषय-गणित, कक्षा 10, ईकाई-5, त्रिकोणमिति

त्रिकोणमितीय अनुपात

त्रिकोणमितीय अनुपात किसी त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों को दर्शाते हैं। त्रिकोणमितीय अनुपातों को तीन प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:

• साइन (sin)
• कोसाइन (cos)
• टांगेंट (tan)

साइन (sin)

साइन एक त्रिभुज के किसी कोण के विपरीत भुजा को उस कोण के कर्ण से विभाजित करने के अनुपात के बराबर होता है।sin θ = oppoiste / hypotenuse

कोसाइन (cos)

कोसाइन एक त्रिभुज के किसी कोण के शीर्षलंब को उस कोण के कर्ण से विभाजित करने के अनुपात के बराबर होता है।cos θ = adjacent / hypotenuse

टांगेंट (tan)

टांगेंट एक त्रिभुज के शीर्षलंब को उस कोण के विपरीत भुजा से विभाजित करने के अनुपात के बराबर होता है।tan θ = opposite / adjacent

त्रिकोणमितीय अनुपातों के कुछ विशिष्ट कोणों के मान

कुछ विशिष्ट कोणों के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात हो सकते हैं। इन कोणों को विशिष्ट कोण कहा जाता है।

• 0° के लिए

sin 0° = 0 cos 0° = 1 tan 0° = 0

• 30° के लिए

sin 30° = 1/2 cos 30° = √3/2 tan 30° = 1/√3

• 45° के लिए

sin 45° = √2/2 cos 45° = √2/2 tan 45° = 1

• 60° के लिए

sin 60° = √3/2 cos 60° = 1/2 tan 60° = √3

• 90° के लिए

sin 90° = 1 cos 90° = 0 tan 90° = ∞

त्रिकोणमितीय पहचान

त्रिकोणमितीय पहचान त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंधों को दर्शाती हैं। कुछ महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय पहचान निम्नलिखित हैं:

• पाइथागोरस की पहचान

a² + b² = c²

जहाँ, a, b और c एक त्रिभुज के भुजाएँ हैं।

• सिन (sin) और कोसाइन (cos) का योगफल पहचान

sin² θ + cos² θ = 1

• सिन (sin) और कोसाइन (cos) का गुणनफल पहचान

sin θ cos θ = (1/2) sin (2θ)

• टांगेंट (tan) और कोसाइन (cos) का पहचान

tan² θ + 1 = sec² θ

• कोसाइन (cos) और सेकेंड (sec) का पहचान

1 - sin² θ = cos² θ

• सिन (sin) और कोसेक (csc) का पहचान

sin² θ = 1 - cos² θ

• टांगेंट (tan) और कोटेजेंट (cot) का पहचान

tan θ = 1/cot θ

निष्कर्ष

त्रिकोणमितीय अनुपात, त्रिकोणमितीय पहचान, और विशिष्ट कोणों के मान त्रिकोणमिति के कुछ महत्वपूर्ण विषय हैं। इन विषयों को समझने से छात्रों को त्रिकोणमिति

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

• त्रिभुजों के माप ज्ञात करना
• परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात करना
• गति और दूरी की गणना करना
• कोणों के माप ज्ञात करना

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और एक भुजा के माप जानते हैं। हम त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के माप ज्ञात कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद रखने के तरीके

त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद रखने के लिए, हम निम्नलिखित तरीकों का उपयोग कर सकते हैं:

• त्रिकोणमितीय अनुपातों के सूत्र को याद रखें।
• त्रिकोणमितीय अनुपातों के विशिष्ट कोणों के मानों को याद रखें।
• त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंधों को याद रखें।

त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद रखने के लिए कुछ ट्रिक्स भी हैं। उदाहरण के लिए, हम sin को साइन के रूप में याद रख सकते हैं, जो शीर्ष और कर्ण के बीच संबंध को दर्शाता है। इसी तरह, cos को कोसाइन के रूप में याद रख सकते हैं, जो आधार और कर्ण के बीच संबंध को दर्शाता है।

निष्कर्ष

त्रिकोणमितीय अनुपात एक शक्तिशाली उपकरण हैं जो विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं। इन अनुपातों को समझने और याद रखने से छात्रों को गणित और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सफल होने में मदद मिल सकती है।

त्रिकोणमितीय पहचान

त्रिकोणमितीय पहचान त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंधों को दर्शाती हैं। ये पहचान त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने और त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी होती हैं।

कुछ महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय पहचान निम्नलिखित हैं:

• पाइथागोरस की पहचान

a² + b² = c²

जहाँ, a, b और c एक त्रिभुज के भुजाएँ हैं।

• सिन (sin) और कोसाइन (cos) का योगफल पहचान

sin² θ + cos² θ = 1

• सिन (sin) और कोसाइन (cos) का गुणनफल पहचान

sin θ cos θ = (1/2) sin (2θ)

• टांगेंट (tan) और कोसाइन (cos) का पहचान

tan² θ + 1 = sec² θ

• कोसाइन (cos) और सेकेंड (sec) का पहचान

1 - sin² θ = cos² θ

• सिन (sin) और कोसेक (csc) का पहचान

sin² θ = 1 - cos² θ

• टांगेंट (tan) और कोटेजेंट (cot) का पहचान

tan θ = 1/cot θ

त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग

त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमें एक समकोण त्रिभुज के दो कोणों के माप दिए गए हैं। हम त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके त्रिभुज की तीसरे कोण के माप की गणना कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमें एक त्रिकोणमितीय समीकरण दिया गया है जिसमें sin θ शामिल है। हम त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके समीकरण को sin θ के पदों में हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय पहचानों को याद रखने के तरीके

त्रिकोणमितीय पहचानों को याद रखने के लिए, हम निम्नलिखित तरीकों का उपयोग कर सकते हैं:

• त्रिकोणमितीय पहचानों के सूत्र को याद रखें।
• त्रिकोणमितीय पहचानों के आरेखों का उपयोग करें।
• त्रिकोणमितीय पहचानों के उदाहरण समस्याओं का अभ्यास करें।

त्रिकोणमितीय पहचानों को याद रखने के लिए कुछ ट्रिक्स भी हैं। उदाहरण के लिए, हम sin² θ + cos² θ = 1 को पाप² + कोस² = एक के रूप में याद रख सकते हैं।

निष्कर्ष

त्रिकोणमितीय पहचान त्रिकोणमिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। इन पहचानों को समझने और याद रखने से छात्रों को त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने में मदद मिल सकती है।

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग: ऊँचाई और दूरियाँ

त्रिकोणमिति एक गणितीय विषय है जो कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन करता है। इसका उपयोग विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है, जिनमें ऊँचाई और दूरियों की गणना भी शामिल है।

ऊँचाई की गणना

त्रिकोणमिति का उपयोग किसी वस्तु की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, जब हमें वस्तु के शीर्ष से एक बिंदु तक की दूरी और उस बिंदु से वस्तु के शीर्ष के उन्नयन कोण का ज्ञान हो।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम एक मीनार की ऊँचाई ज्ञात करना चाहते हैं। हम मीनार के शीर्ष से एक बिंदु पर खड़े होकर मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण माप सकते हैं। हम उस बिंदु से मीनार तक की दूरी भी माप सकते हैं।

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके, हम मीनार की ऊँचाई की गणना कर सकते हैं।

दूरी की गणना

त्रिकोणमिति का उपयोग किसी दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है, जब हमें उन बिंदुओं के बीच के कोण और उन बिंदुओं में से किसी एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरी का ज्ञान हो।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम दो पहाड़ों के बीच की दूरी ज्ञात करना चाहते हैं। हम दोनों पहाड़ों के बीच के कोण को माप सकते हैं। हम एक पहाड़ से दूसरे पहाड़ तक की दूरी भी माप सकते हैं।

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके, हम दोनों पहाड़ों के बीच की दूरी की गणना कर सकते हैं।

ऊँचाई और दूरियों की गणना के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र

ऊँचाई और दूरियों की गणना के लिए निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सूत्र उपयोग किए जा सकते हैं:

• ऊँचाई की गणना:

h = d * tan θ

जहाँ,

• h = ऊँचाई
• d = बिंदु से दूरी
• θ = उन्नयन कोण
• दूरी की गणना:

d = h / tan θ

जहाँ,

• d = दूरी
• h = ऊँचाई
• θ = उन्नयन कोण

इन सूत्रों का उपयोग करके, हम ऊँचाई और दूरियों की गणना कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग विभिन्न क्षेत्रों में पाए जाते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• भूगोल: त्रिकोणमिति का उपयोग नक्शे बनाने, दूरी की गणना करने और ऊँचाई मापने के लिए किया जाता है।
• खगोल विज्ञान: त्रिकोणमिति का उपयोग ग्रहों, तारों और अन्य खगोलीय पिंडों के बीच की दूरियों की गणना करने के लिए किया जाता है।
• वास्तुकला: त्रिकोणमिति का उपयोग इमारतों और अन्य संरचनाओं के निर्माण में किया जाता है।
• सैन्य विज्ञान: त्रिकोणमिति का उपयोग लक्ष्य को मारने, दूरी की गणना करने और ऊँचाई मापने के लिए किया जाता है।
• इंजीनियरिंग: त्रिकोणमिति का उपयोग पुलों, सड़कों और अन्य इंजीनियरिंग संरचनाओं के निर्माण में किया जाता है।

त्रिकोणमिति एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।