माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान, अजमेर, विषय-गणित, कक्षा 10, ईकाई-6, क्षेत्रमिति MENSURATION

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

वृत्त एक बंद आकृति है जिसकी सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर स्थित होते हैं। वृत्त का क्षेत्रफल उस आकृति के क्षेत्रफल को संदर्भित करता है जो वृत्त से घिरा होता है।

वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:A = πr²

जहाँ,

• A = वृत्त का क्षेत्रफल
• π = पाई (3.14)
• r = वृत्त की त्रिज्या

पाई (π)

पाई एक गणितीय स्थिरांक है जिसका मान लगभग 3.14 होता है। यह वृत्त के परिधि और व्यास के अनुपात के बराबर होता है।

त्रिज्या (r)

त्रिज्या वृत्त के केंद्र से परिधि तक की दूरी है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:A = πr² A = 3.14 * 5² A = 78.57 सेमी²

इसलिए, दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल 78.57 सेमी² है।

वृत्तों से संबंधित कुछ अन्य क्षेत्रफल

• सेक्टर का क्षेत्रफल: एक सेक्टर वृत्त के एक हिस्से को संदर्भित करता है। सेक्टर का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

A = (θ/360)πr²

जहाँ,

• θ = सेक्टर के कोण का माप (डिग्री में)

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक वृत्त का कोण 120 डिग्री है और उसकी त्रिज्या 5 सेमी है। सेक्टर के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:A = (θ/360)πr² A = (120/360)π * 5² A = 25π सेमी²

इसलिए, दिए गए सेक्टर का क्षेत्रफल 25π सेमी² है।

• अर्धवृत्त का क्षेत्रफल: एक अर्धवृत्त वृत्त का आधा हिस्सा होता है। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

A = (1/2)πr²

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। अर्धवृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:A = (1/2)πr² A = (1/2) * 3.14 * 5² A = 78.57 सेमी²

इसलिए, दिए गए अर्धवृत्त का क्षेत्रफल 78.57 सेमी² है।

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल के अनुप्रयोग

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल के अनुप्रयोग विभिन्न क्षेत्रों में पाए जाते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• वास्तुकला: वास्तुकार वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल का उपयोग इमारतों, सड़कों और अन्य संरचनाओं के निर्माण में करते हैं।
• इंजीनियरिंग: इंजीनियर वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल का उपयोग मशीनों, उपकरणों और अन्य इंजीनियरिंग संरचनाओं के निर्माण में करते हैं।
• गणित: गणितज्ञ वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए करते हैं।

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल एक महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा है जिसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

वृत्त के क्षेत्रफल

वृत्त एक बंद आकृति है जिसकी सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर स्थित होते हैं। वृत्त का क्षेत्रफल उस आकृति के क्षेत्रफल को संदर्भित करता है जो वृत्त से घिरा होता है।

वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:A = πr²

जहाँ,

• A = वृत्त का क्षेत्रफल
• π = पाई (3.14)
• r = वृत्त की त्रिज्या

सेक्टर का क्षेत्रफल

एक सेक्टर वृत्त के एक हिस्से को संदर्भित करता है। सेक्टर का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:A = (θ/360)πr²

जहाँ,

• θ = सेक्टर के कोण का माप (डिग्री में)

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक वृत्त का कोण 120 डिग्री है और उसकी त्रिज्या 5 सेमी है। सेक्टर के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:A = (θ/360)πr² A = (120/360)π * 5² A = 25π सेमी²

इसलिए, दिए गए सेक्टर का क्षेत्रफल 25π सेमी² है।

सेक्टर और अर्धवृत्त के बीच अंतर

सेक्टर और अर्धवृत्त दोनों वृत्त के हिस्से हैं। हालांकि, उनके बीच कुछ महत्वपूर्ण अंतर हैं।

• सेक्टर: एक सेक्टर का कोण 0 डिग्री से 360 डिग्री के बीच होता है।
• अर्धवृत्त: एक अर्धवृत्त का कोण 180 डिग्री होता है।
• क्षेत्रफल: एक सेक्टर का क्षेत्रफल θ/360πr² के बराबर होता है, जहां θ सेक्टर का कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है। एक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल πr²/2 के बराबर होता है।

सेक्टर और अर्धवृत्त के अनुप्रयोग

सेक्टर और अर्धवृत्त के अनुप्रयोग विभिन्न क्षेत्रों में पाए जाते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• वास्तुकला: वास्तुकार सेक्टर और अर्धवृत्त का उपयोग इमारतों, सड़कों और अन्य संरचनाओं के निर्माण में करते हैं।
• इंजीनियरिंग: इंजीनियर सेक्टर और अर्धवृत्त का उपयोग मशीनों, उपकरणों और अन्य इंजीनियरिंग संरचनाओं के निर्माण में करते हैं।
• गणित: गणितज्ञ सेक्टर और अर्धवृत्त का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए करते हैं।

सेक्टर और अर्धवृत्त महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाएं हैं जिनका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

क्षेत्रफल

क्षेत्रफल एक सतह द्वारा घेरे गए क्षेत्र को संदर्भित करता है। इसे वर्ग इकाइयों में मापा जाता है, जैसे कि वर्ग सेंटीमीटर, वर्ग मीटर, या वर्ग किलोमीटर।

आयत का क्षेत्रफल

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है।A = l * w

जहाँ,

• A = आयत का क्षेत्रफल
• l = आयत की लंबाई
• w = आयत की चौड़ाई

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक आयत की लंबाई 10 सेमी और चौड़ाई 5 सेमी है। आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:A = 10 * 5 A = 50 सेमी²

इसलिए, दिए गए आयत का क्षेत्रफल 50 सेमी² है।

वर्ग का क्षेत्रफल

एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।A = a²

जहाँ,

• A = वर्ग का क्षेत्रफल
• a = वर्ग की भुजा की लंबाई

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक वर्ग की भुजा की लंबाई 5 सेमी है। वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:A = 5² A = 25 सेमी²

इसलिए, दिए गए वर्ग का क्षेत्रफल 25 सेमी² है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी आधार और ऊंचाई के गुणनफल के आधे के बराबर होता है।A = (1/2)bh

जहाँ,

• A = त्रिभुज का क्षेत्रफल
• b = त्रिभुज का आधार
• h = त्रिभुज की ऊंचाई

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक त्रिभुज का आधार 10 सेमी और ऊंचाई 5 सेमी है। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:A = (1/2)10 * 5 A = 25 सेमी²

इसलिए, दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल 25 सेमी² है।

वृत्त का क्षेत्रफल

एक वृत्त का क्षेत्रफल उसके व्यास के वर्ग के बराबर होता है, जिसे दो से विभाजित किया जाता है।A = πr²

जहाँ,

• A = वृत्त का क्षेत्रफल
• π = पाई (3.14)
• r = वृत्त की त्रिज्या

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:A = π * 5² A = π * 25 A = 78.57 सेमी²

इसलिए, दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल 78.57 सेमी² है।

क्षेत्रफल के अनुप्रयोग

क्षेत्रफल के अनुप्रयोग विभिन्न क्षेत्रों में पाए जाते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• वास्तुकला: वास्तुकार क्षेत्रफल का उपयोग इमारतों, सड़कों और अन्य संरचनाओं के निर्माण में करते हैं।
• इंजीनियरिंग: इंजीनियर क्षेत्रफल का उपयोग मशीनों, उपकरणों और अन्य इंजीनियरिंग संरचनाओं के निर्माण में करते हैं।
• गणित: गणितज्ञ क्षेत्रफल का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए करते हैं।

क्षेत्रफल एक महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा है जिसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

क्षेत्रफल का संयोजन

जब दो या दो से अधिक ठोस एक साथ जुड़े होते हैं, तो उन्हें एक संयोजन ठोस कहा जाता है। संयोजन ठोस के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हमें प्रत्येक ठोस के क्षेत्रफल को जोड़ना होगा, और फिर उन क्षेत्रों के बीच किसी भी अतिव्यापी क्षेत्र को कम करना होगा।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक घन और एक गोला एक साथ जुड़े हुए हैं। घन की भुजा की लंबाई 10 सेमी है, और गोले की त्रिज्या 5 सेमी है। संयोजन ठोस के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हमें पहले घन के क्षेत्रफल और गोले के क्षेत्रफल की गणना करनी होगी।

घन का क्षेत्रफल = 6 * (10²) = 600 सेमी²

गोले का क्षेत्रफल = 4 * π * 5² = 100 * π सेमी²

अब, हमें इन क्षेत्रों को जोड़ना होगा:

संयोजन ठोस का क्षेत्रफल = 600 + 100 * π

अंत में, हमें उन क्षेत्रों के बीच किसी भी अतिव्यापी क्षेत्र को कम करना होगा। इस मामले में, घन और गोले के बीच कोई अतिव्यापी क्षेत्र नहीं है। इसलिए, संयोजन ठोस का क्षेत्रफल 600 + 100 * π सेमी² है।

आयत का संयोजन

मान लीजिए कि दो आयत एक साथ जुड़े हुए हैं, जैसे कि एक के ऊपर एक। यदि आयतों की लंबाई और चौड़ाई समान हैं, तो संयोजन ठोस की लंबाई और चौड़ाई दोनों आयतों की लंबाई और चौड़ाई के योग के बराबर होगी। संयोजन ठोस की ऊंचाई दोनों आयतों की ऊंचाई के योग के बराबर होगी।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक आयत की लंबाई 10 सेमी और चौड़ाई 5 सेमी है, और एक अन्य आयत की लंबाई 15 सेमी और चौड़ाई 7.5 सेमी है। इन दो आयतों के संयोजन ठोस की लंबाई 25 सेमी, चौड़ाई 12.5 सेमी और ऊंचाई 15 सेमी होगी।

घन का संयोजन

मान लीजिए कि दो घन एक साथ जुड़े हुए हैं, जैसे कि एक के ऊपर एक। यदि घनों की भुजा की लंबाई समान हैं, तो संयोजन ठोस की भुजा की लंबाई दोनों घनों की भुजा की लंबाई के योग के बराबर होगी।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक घन की भुजा की लंबाई 10 सेमी है, और एक अन्य घन की भुजा की लंबाई 15 सेमी है। इन दो घनों के संयोजन ठोस की भुजा की लंबाई 25 सेमी होगी।

वृत्त का संयोजन

मान लीजिए कि दो वृत्त एक साथ जुड़े हुए हैं, जैसे कि एक के ऊपर एक। यदि वृत्तों की त्रिज्या समान हैं, तो संयोजन ठोस की त्रिज्या दोनों वृत्तों की त्रिज्या के योग के बराबर होगी।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है, और एक अन्य वृत्त की त्रिज्या 7.5 सेमी है। इन दो वृत्तों के संयोजन ठोस की त्रिज्या 12.5 सेमी होगी।

क्षेत्रफल के अनुप्रयोग

क्षेत्रफल के संयोजन का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• वास्तुकला: वास्तुकार क्षेत्रफल के संयोजन का उपयोग इमारतों, सड़कों और अन्य संरचनाओं के निर्माण में करते हैं।
• इंजीनियरिंग: इंजीनियर क्षेत्रफल के संयोजन का उपयोग मशीनों, उपकरणों और अन्य इंजीनियरिंग संरचनाओं के निर्माण में करते हैं।
• गणित: गणितज्ञ क्षेत्रफल के संयोजन का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए करते हैं।

क्षेत्रफल के संयोजन एक महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा है जिसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।