माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान, अजमेर, विषय-गणित, ईकाई-3 ज्यामिति GEOMETRY

त्रिभुज

त्रिभुज एक ऐसी आकृति है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं। त्रिभुजों को उनके भुजाओं की लंबाई के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है:

• समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle): एक समबाहु त्रिभुज में सभी तीन भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
• समद्विबाहु त्रिभुज (isosceles triangle): एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
• असमबाहु त्रिभुज (scalene triangle): एक विषमबाहु त्रिभुज में तीनों भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं।

त्रिभुजों को उनके कोणों के आधार पर भी वर्गीकृत किया जा सकता है:

• समानकोण त्रिभुज (right-angled triangle): एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 90 डिग्री का होता है।
• असमकोण त्रिभुज (obtuse-angled triangle): एक असमकोण त्रिभुज में एक कोण 90 डिग्री से अधिक होता है।
• न्यूनकोण त्रिभुज (acute-angled triangle): एक न्यूनकोण त्रिभुज में सभी कोण 90 डिग्री से कम होते हैं।

त्रिभुजों की समरूपता

दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनकी भुजाओं के अनुपात समान होते हैं। इसका अर्थ है कि यदि हम एक त्रिभुज को किसी भी अनुपात में बढ़ाते या घटाते हैं, तो हम दूसरा त्रिभुज प्राप्त कर सकते हैं जो पहले त्रिभुज के समरूप होगा।

त्रिभुजों की समरूपता के लिए तीन कसौटियाँ हैं:

कोण-कोण सर्वांगसमता

यदि दो त्रिभुजों के दो कोण प्रत्येक दूसरे के बराबर हों, तो वे समरूप होते हैं।

उदाहरण:

ABC और DEF दो त्रिभुज हैं जिनके कोण A और D समान हैं, और कोण B और E समान हैं। तब, ABC और DEF समरूप होते हैं।

भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता

यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण प्रत्येक दूसरे के बराबर हों, तो वे समरूप होते हैं।

उदाहरण:

ABC और DEF दो त्रिभुज हैं जिनकी भुजा AB और DE समान हैं, और कोण A और D समान हैं। तब, ABC और DEF समरूप होते हैं।

भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता

यदि दो त्रिभुजों की सभी तीन भुजाएँ प्रत्येक दूसरे के बराबर हों, तो वे समरूप होते हैं।

उदाहरण:

ABC और DEF दो त्रिभुज हैं जिनकी भुजाएँ AB, BC और CA प्रत्येक दूसरे के बराबर हैं। तब, ABC और DEF समरूप होते हैं।

त्रिभुजों की समरूपता के उपयोग

त्रिभुजों की समरूपता का उपयोग ज्यामिति में विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम समरूप त्रिभुजों के बीच संबंधों का उपयोग कर सकते हैं:

• समान कोणों के अनुपात: समरूप त्रिभुजों के समान कोणों का अनुपात समान होता है।
• समान भुजाओं के अनुपात: समरूप त्रिभुजों की समान भुजाओं का अनुपात समान होता है।
• त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

त्रिभुजों की समरूपता का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में भी किया जाता है, जैसे कि वास्तुकला, इंजीनियरिंग और भौतिकी।

वृत्त की स्पर्श रेखा

वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर काटती है। इस बिंदु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।

स्पर्श रेखा और वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली रेखा के बीच का कोण 90 डिग्री होता है।

इसका कारण यह है कि स्पर्श रेखा वृत्त की स्पर्श बिंदु पर लंब होती है।

स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर काटती है।

यह इसलिए है क्योंकि स्पर्श रेखा वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली त्रिज्या के समांतर होती है।

स्पर्श रेखा वृत्त के स्पर्श बिंदु पर लंब होती है।

यह इसलिए है क्योंकि स्पर्श रेखा वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है।

स्पर्श रेखाओं के गुण

• स्पर्श रेखा और वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली रेखा के बीच का कोण 90 डिग्री होता है।
• स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर काटती है।
• स्पर्श रेखा वृत्त के स्पर्श बिंदु पर लंब होती है।

स्पर्श रेखाओं के उपयोग

स्पर्श रेखाओं का उपयोग विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम स्पर्श रेखाओं का उपयोग करके:

• वृत्त के व्यास को ज्ञात कर सकते हैं।
• वृत्त के त्रिज्या को ज्ञात कर सकते हैं।
• वृत्त के केंद्र को ज्ञात कर सकते हैं।
• वृत्त के क्षेत्रफल को ज्ञात कर सकते हैं।

स्पर्श रेखाओं के उदाहरण

• एक वृत्त के केंद्र से खींची गई कोई भी रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
• एक वृत्त के व्यास का मध्य बिंदु वृत्त के किसी भी बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं को खींचने के लिए एक निश्चित बिंदु होता है।
• एक वृत्त के दो जीवाओं के मध्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई रेखा दोनों जीवाओं को स्पर्श करती है।

एक बिंदु से एक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या

एक बिंदु से एक वृत्त पर केवल दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

इसका कारण यह है कि स्पर्श रेखा वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली त्रिज्या के समांतर होती है। और एक बिंदु से केवल दो भिन्न त्रिज्याएँ खींची जा सकती हैं।

स्पर्श रेखाएँ कैसे खींची जाएँ

स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए, हमें निम्नलिखित चरणों का पालन करना चाहिए:

1. वृत्त के केंद्र और दिए गए बिंदु को मिलाने वाली रेखा खींचें।
2. इस रेखा पर एक बिंदु चुनें।
3. इस बिंदु से वृत्त के केंद्र की ओर एक रेखा खींचें।
4. यह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होगी।

उदाहरण

मान लीजिए कि हम एक वृत्त के केंद्र को O और एक बिंदु को P मानते हैं।O P

चरण 1: वृत्त के केंद्र और दिए गए बिंदु को मिलाने वाली रेखा खींचें।O P

चरण 2: इस रेखा पर एक बिंदु चुनें।O P Q

चरण 3: इस बिंदु से वृत्त के केंद्र की ओर एक रेखा खींचें।O P Q

चरण 4: यह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होगी।O P Q

उपर्युक्त उदाहरण में, O और Q वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।