कक्षा 10 गणित: बहुपद और द्विघात समीकरण – पूर्ण गाइड

बहुपद (Polynomials)

परिचय और परिभाषा

बहुपद एक ऐसा व्यंजक है जो केवल घातांकीय पदों से मिलकर बना होता है। इन पदों में चर x का घातांक 0 से लेकर किसी धनात्मक पूर्णांक तक हो सकता है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित व्यंजक बहुपद हैं:

• x
• x²
• x³ + 2x² + 3x + 1
• x⁴ – 3x² + 2

बहुपद के प्रकार

बहुपदों को उनके पदों की संख्या के आधार पर निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

• एकपदीय (Monomials): जिनमें केवल एक पद होता है, वे एकपदीय कहलाते हैं।
• द्विपदीय (Binomials): जिनमें दो पद होते हैं, वे द्विपदीय कहलाते हैं।
• त्रिपदीय (Trinomials): जिनमें तीन पद होते हैं, वे त्रिपदीय कहलाते हैं।
• उच्च कोटि के बहुपद (Polynomials of Higher Degree): जिनमें तीन से अधिक पद होते हैं, वे उच्च कोटि के बहुपद कहलाते हैं।

बहुपद का मान

किसी बहुपद का मान किसी दिए गए x के मान पर निर्भर करता है। किसी दिए गए x के मान के लिए, बहुपद के सभी पदों को x के उस मान से गुणा करके बहुपद का मान प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि बहुपद x² + 2x + 3 है। यदि x = 2 दिया गया है, तो बहुपद का मान निम्न प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है:(2)² + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11

शून्यक (Zeroes) का अर्थ और महत्व

किसी बहुपद का शून्यक वह x का मान है जिस पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि बहुपद x² + 2x + 3 है। यदि x = -1 दिया गया है, तो बहुपद का मान शून्य हो जाता है। इसलिए, x = -1 इस बहुपद का शून्यक है।

बहुपद के शून्यकों का महत्व इस बात में निहित है कि ये बहुपद के ग्राफ के मूल बिंदु (intercept) निर्धारित करते हैं।

बहुपद का विभाजन

बहुपद का विभाजन एक ऐसा प्रक्रिया है जिसमें एक बहुपद को दूसरे बहुपद से विभाजित किया जाता है। विभाजन के परिणामस्वरूप दो बहुपद प्राप्त होते हैं: भागफल और शेषफल।

बहुपद के विभाजन के लिए, निम्नलिखित नियमों का पालन किया जाता है:

• यदि x² + 2x + 3 को x + 1 से विभाजित किया जाता है, तो भागफल 2x + 3 और शेषफल 2 प्राप्त होता है।

x² + 2x + 3 / x + 1 = 2x + 3 (x + 1)/x + 1 = 2x² + 3x + 3 - 3x = 2x² + 0x + 0

• यदि x² + 2x + 3 को x² + 2 से विभाजित किया जाता है, तो भागफल 1 और शेषफल 1 प्राप्त होता है।

x² + 2x + 3 / x² + 2 = x² + 2x + 3 - (x² + 2) = x² + 2x + 3 - x² - 2 = 2x + 1

बहुपदों के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²**
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³**
• (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³**
• (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b²

• (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
• (a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴**

इन सूत्रों का उपयोग बहुपदों के गुणन और सरलीकरण के लिए किया जा सकता है।

बहुपदों के कुछ महत्वपूर्ण गुण

• बहुपद का योग और अंतर भी बहुपद होता है।
• बहुपद का गुणन भी बहुपद होता है।
• बहुपद को किसी अचर से गुणा करने पर उसका घातांक उस अचर के घातांक से बढ़ जाता है।
• बहुपद को किसी चर से गुणा करने पर उसका घातांक उस चर के घातांक से एक बढ़ जाता है।
• बहुपद को किसी चर के व्युत्पन्न से गुणा करने पर उसका घातांक उस चर के घातांक से एक कम हो जाता है।

इन गुणों का उपयोग बहुपदों के गुणन, सरलीकरण और गुणनफल के व्युत्पन्न के लिए किया जा सकता है।

बहुपदों के अनुप्रयोग

बहुपदों के अनुप्रयोग निम्नलिखित हैं:

• गणित में, बहुपदों का उपयोग बीजगणित, ज्यामिति, कैलकुलस आदि में किया जाता है।
• भौतिकी में, बहुपदों का उपयोग बल, ऊर्जा, गति आदि के समीकरणों में किया जाता है।
• रसायन विज्ञान में, बहुपदों का उपयोग रासायनिक यौगिकों के सूत्र और गुणों के अध्ययन में किया जाता है।
• अर्थशास्त्र में, बहुपदों का उपयोग आर्थिक मॉडलों में किया जाता है।

बहुपदों का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है और वे गणित के एक महत्वपूर्ण विषय हैं।

द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

परिभाषा

किसी समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं यदि उसमें चर x का सर्वोच्च घातांक 2 हो।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं:

• x² + 2x + 3 = 0
• 2x² – 3x + 1 = 0
• x² – 4x + 4 = 0

मानक रूप

द्विघात समीकरण का मानक रूप निम्नलिखित है:ax² + bx + c = 0

जहाँ a, b और c कोई वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.

द्विघात समीकरण के मूल

द्विघात समीकरण के मूल वे वास्तविक संख्याएँ हैं जिनके लिए समीकरण का मान शून्य होता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x² + 2x + 3 = 0 का मान x = -1 और x = -3 के लिए शून्य होता है। इसलिए, x = -1 और x = -3 इस समीकरण के मूल हैं।

सूत्र द्वारा मूलों का निर्धारण

द्विघात समीकरण के मूलों का निर्धारण करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जा सकता है:x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

यहाँ, x समीकरण के मूलों में से एक है।

द्विघात समीकरण के ग्राफ

द्विघात समीकरण का ग्राफ एक परवलय होता है। परवलय का शीर्ष मूलों के बीच स्थित होता है।

समीकरणों के अनुप्रयोग

द्विघात समीकरणों के कई अनुप्रयोग हैं। कुछ महत्वपूर्ण अनुप्रयोग निम्नलिखित हैं:

• भौतिकी में, द्विघात समीकरणों का उपयोग बल, ऊर्जा, गति आदि के समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
• रसायन विज्ञान में, द्विघात समीकरणों का उपयोग रासायनिक यौगिकों के सूत्र और गुणों के अध्ययन में किया जाता है।
• अर्थशास्त्र में, द्विघात समीकरणों का उपयोग आर्थिक मॉडलों को हल करने के लिए किया जाता है।

द्विघात समीकरण गणित का एक महत्वपूर्ण विषय है और इनका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

बहुपद से संबंधित प्रश्न

• प्रश्न 1: निम्नलिखित में से कौन सा एकपदीय है?

(a) x² + 2x + 3 (b) x² + 2x (c) x² (d) x

उत्तर: (d)

• प्रश्न 2: निम्नलिखित में से कौन सा द्विपदीय है?

(a) x² + 2x + 3 (b) x² + 2x (c) x² (d) x³

उत्तर: (a)

• प्रश्न 3: निम्नलिखित में से कौन सा त्रिपदीय है?

(a) x² + 2x + 3 (b) x² + 2x (c) x² (d) x⁴

उत्तर: (a)

• प्रश्न 4: निम्नलिखित में से कौन सा बहुपद का शून्यक है?

(a) x² + 2x + 3 (b) x² + 2x (c) x² (d) x³

उत्तर: (b)

• प्रश्न 5: निम्नलिखित में से कौन सा बहुपद का मान x = 2 पर शून्य है?

(a) x² + 2x + 3 (b) x² + 2x (c) x² (d) x³

उत्तर: (a)

द्विघात समीकरणों के प्रश्न

• प्रश्न 1: निम्नलिखित द्विघात समीकरणों में से कौन सा मानक रूप में है?

(a) x² + 2x + 3 = 0 (b) 2x² – 3x + 1 = 0 (c) x² – 4x + 4 = 0 (d) x² + 2x + 3 = -1

उत्तर: (c)

• प्रश्न 2: निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल क्या हैं?

(a) x² + 2x + 3 = 0

उत्तर: x = -1, -3

• प्रश्न 3: निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का गुणनफल क्या है?

(a) x² + 2x + 3 = 0

उत्तर: -3

• प्रश्न 4: निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का योग क्या है?

(a) x² + 2x + 3 = 0

उत्तर: -2

वास्तविक जीवन से जुड़े उदाहरण

• उदाहरण 1: एक गेंद को ऊपर फेंकने पर, गेंद की ऊंचाई समय के साथ एक परवलय के रूप में बदलती है। इस परवलय का समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
• उदाहरण 2: एक कंप्यूटर स्क्रीन पर दिखाई देने वाले छवियों को बनाने के लिए, द्विघात समीकरणों का उपयोग किया जाता है।
• उदाहरण 3: एक कंपनी के लाभ को निर्धारित करने वाला समीकरण एक द्विघात समीकरण हो सकता है।

ये केवल कुछ उदाहरण हैं कि बहुपद और द्विघात समीकरण वास्तविक जीवन में कैसे उपयोग किए जाते हैं।

Multiple-choice questions (MCQs)

1. बहुपद x³ – 4x² + 6x – 24 का एक शून्यक है:

• A) 4
• B) 2
• C) -4
• D) -2
• उत्तर: B) 2

1. यदि x + 1/x = 5 हो, तो x² + 1/x² का मान क्या होगा?

• A) 23
• B) 25
• C) 27
• D) 29
• उत्तर: B) 25

1. x² – 5x + 6 के मूल हैं:

• A) 2 और 3
• B) 1 और 6
• C) 3 और 4
• D) 2 और 4
• उत्तर: A) 2 और 3

1. बहुपद x³ – 3x² + x + 5 का डिग्री है:

• A) 1
• B) 2
• C) 3
• D) 4
• उत्तर: C) 3

1. द्विघात समीकरण x² – 12x + 35 = 0 के मूल हैं:

• A) 5 और 7
• B) 6 और 6
• C) 7 और 5
• D) 8 और 4
• उत्तर: A) 5 और 7

1. x² + 6x + 9 का संपूर्ण वर्ग है:

• A) (x + 3)²
• B) (x – 3)²
• C) (x + 6)²
• D) (x – 6)²
• उत्तर: A) (x + 3)²

1. बहुपद x⁴ – 2x² + 1 का एक शून्यक है:

• A) 0
• B) 1
• C) -1
• D) 2
• उत्तर: A) 0

1. x² – 9 = 0 के मूल हैं:

• A) ±3
• B) ±2
• C) ±4
• D) ±5
• उत्तर: A) ±3

लघु प्रश्न

1. प्रश्न: x² – 5x + 6 के मूल क्या हैं?

• उत्तर: 2 और 3

1. प्रश्न: यदि x + 1/x = 3 हो, तो x² + 1/x² का मान क्या होगा?

• उत्तर: 7

1. प्रश्न: x³ – 4x² + x + 6 का डिग्री क्या है?

• उत्तर: 3

1. प्रश्न: x² – 12x + 36 = 0 के मूल क्या हैं?

• उत्तर: 6 और 6 (या 6 का दोहरा मूल)

1. प्रश्न: बहुपद 2x³ – 3x² + 4x – 5 का एक शून्यक क्या है?

• उत्तर: इस प्रश्न का उत्तर बिना विशिष्ट मानों के नहीं दिया जा सकता है।