गुणोत्तर श्रेणी (AP) का परिचय और अनुप्रयोग – आपके दैनिक जीवन में गणित

गुणोत्तर श्रेणी (AP) का परिचय और उसका सामान्य रूप

गुणोत्तर श्रेणी (AP), जिसे अंकगणितीय अनुक्रम के रूप में भी जाना जाता है, संख्याओं का एक क्रम होता है जिसमें लगातार दो पदों के बीच अंतर एक समान होता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक पद को प्राप्त करने के लिए पिछले पद में एक निश्चित संख्या, जिसे ‘सार्व अंतर’ कहा जाता है, जोड़ा जाता है।

सामान्य रूप

गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य रूप इस प्रकार है:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, …

जहां:

• a प्रथम पद है।
• d सार्व अंतर है।
• n पदों की संख्या है।

उदाहरण के लिए, संख्याओं का क्रम 2, 5, 8, 11, 14, … एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें पहला पद 2 और सार्व अंतर 3 है।

n पदों का योग

गुणोत्तर श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

Sn = n/2 [2a + (n – 1)d]

जहां:

• Sn n पदों का योग है।
• a प्रथम पद है।
• d सार्व अंतर है।
• n पदों की संख्या है।

उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरण में (2, 5, 8, 11, 14, …) के पहले 5 पदों का योग ज्ञात करने के लिए:

Sn = 5/2 [2(2) + (5 – 1)(3)] Sn = 25/2 [4 + 12] Sn = 25/2 * 16 Sn = 200

इस प्रकार, पहले 5 पदों का योग 200 है।

प्रायोगिक अनुप्रयोग

गुणोत्तर श्रेणियों का वास्तविक जीवन में कई अनुप्रयोग हैं, जिनमें कुछ उदाहरण निम्न हैं:

• समय और दूरी समस्याएं: यदि किसी वस्तु की गति एक समान दर से बढ़ रही है, तो तय की गई दूरी समय के साथ एक गुणोत्तर श्रेणी का अनुसरण करेगी।
• ब्याज की गणना: साधारण ब्याज की गणना भी एक गुणोत्तर श्रेणी का उपयोग करके की जा सकती है।
• अनुक्रमणिका तैयार करना: किसी पुस्तक की अनुक्रमणिका में पृष्ठ संख्याएँ आम तौर पर एक गुणोत्तर श्रेणी का अनुसरण करती हैं।
• आर्थिक मॉडलिंग: आर्थिक मॉडलिंग में भविष्य की मांग का अनुमान लगाने के लिए अक्सर गुणोत्तर श्रेणियों का उपयोग किया जाता है।

चित्रण

अभ्यास प्रश्न

1. निम्नलिखित संख्याओं का क्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है या नहीं जाँच करें: 3, 6, 9, 12, 15.
2. यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद 5 और सार्व अंतर 2 है, तो पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
3. एक कार की गति प्रति घंटे 5 किलोमीटर बढ़ रही है। यदि प्रारंभिक गति 60 किलोमीटर प्रति घंटा है, तो 4 घंटे बाद इसकी गति क्या होगी?

प्रश्न: निम्नलिखित संख्याओं का क्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है या नहीं जाँच करें: 3, 6, 9, 12, 15.

हाँ, संख्याओं का क्रम 3, 6, 9, 12, 15 एक गुणोत्तर श्रेणी है।

यह जांचने के लिए, हम लगातार दो पदों के बीच का अंतर ज्ञात करेंगे।

• 6 – 3 = 3
• 9 – 6 = 3
• 12 – 9 = 3
• 15 – 12 = 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रत्येक पद के बीच का अंतर 3 है, जो एक समान संख्या है। इसलिए, यह क्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है।

इस क्रम का सार्व अंतर 3 है।

यह क्रम 3 से शुरू होता है और 3 के अंतराल पर बढ़ता है, जिससे यह एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाता है।

प्रश्न : यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद 5 और सार्व अंतर 2 है, तो पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

पहले 10 पदों का योग ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:

Sn = n/2 [2a + (n – 1)d]

जहां:

• Sn n पदों का योग है।
• a प्रथम पद है।
• d सार्व अंतर है।
• n पदों की संख्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

Sn = 10/2 [2(5) + (10 – 1)(2)] Sn = 5 [10 + 18] Sn = 5 * 28 Sn = 140

इस प्रकार, पहले 10 पदों का योग 140 है.

वैकल्पिक तरीका:

हम पहले 10 पदों को लिखकर उनका योग भी ज्ञात कर सकते हैं:

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

इन 10 संख्याओं का योग 140 है, जो पहले तरीके से प्राप्त उत्तर के समान हैं।

प्रश्न : एक कार की गति प्रति घंटे 5 किलोमीटर बढ़ रही है। यदि प्रारंभिक गति 60 किलोमीटर प्रति घंटा है, तो 4 घंटे बाद इसकी गति क्या होगी?

4 घंटे बाद कार की गति ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे:

1. गति में वृद्धि ज्ञात करें:

प्रति घंटे 5 किलोमीटर की दर से 4 घंटे में गति में वृद्धि होगी:

5 किलोमीटर/घंटा * 4 घंटे = 20 किलोमीटर

2. अंतिम गति ज्ञात करें:

प्रारंभिक गति में गति में वृद्धि जोड़कर अंतिम गति प्राप्त होगी:

60 किलोमीटर/घंटा + 20 किलोमीटर/घंटा = 80 किलोमीटर/घंटा

निष्कर्ष: 4 घंटे बाद कार की गति 80 किलोमीटर प्रति घंटा होगी.