कक्षा 10 के लिए द्विघात समीकरणों का मास्टर करें: गुणनखंडन से लेकर द्विघात सूत्र तक (पूर्ण गाइड और अभ्यास प्रश्नों सहित!)
द्विघात समीकरणों को समझना: कक्षा 10 के छात्रों के लिए गणित गाइड
द्विघात समीकरण गणित के सबसे मौलिक समीकरणों में से एक हैं, और कक्षा 10 के पाठ्यक्रम में एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। ये समीकरण हमें वास्तविक संख्याओं (जिन्हें मूल भी कहा जाता है) के दो मान खोजने में मदद करते हैं, जो समीकरण को सत्य बनाते हैं। इस लेख में, हम द्विघात समीकरणों की मूल बातों, उन्हें हल करने के विभिन्न तरीकों और मूल्यों को खोजने के अभ्यास प्रश्नों को देखेंगे।
द्विघात समीकरणों के मूल सिद्धांत:
एक द्विघात समीकरण को सामान्य रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:
ax^2 + bx + c = 0
जहां a, b और c वास्तविक संख्याएं हैं और a शून्य से भिन्न है। इस समीकरण में, x वह अज्ञात है जिसके लिए हमें दो मूल खोजने हैं।
द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके:
द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं, जिनमें शामिल हैं:
गुणनखंडन: यह विधि तभी लागू होती है जब द्विघात समीकरण को दो रैखिक समीकरणों के गुणनफल के रूप में फैक्टर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण x^2 + 5x + 6 को (x + 2)(x + 3) के रूप में फैक्टर किया जा सकता है। मूल तब -2 और -3 होंगे।
वर्ग पूरा करना: यह विधि तब उपयोगी होती है जब समीकरण को आसानी से फैक्टर नहीं किया जा सकता है। इसमें समीकरण को इस रूप में बदलना शामिल है कि बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग बन जाए। तब मूलों को वर्गमूल निकालकर पाया जा सकता है।
द्विघात सूत्र: यह एक सामान्य सूत्र है जिसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है। सूत्र इस प्रकार है:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a
जहां ± का अर्थ है “धन या ऋण”।
अभ्यास प्रश्नों को हल करके सीखना
समीकरण x^2 + 8x + 15 = 0 को हल करें।
समीकरण x^2 + 8x + 15 = 0 को हल करने के लिए हम दो तरीकों का उपयोग कर सकते हैं:
1. गुणनखंडन:
इस समीकरण को दो रैखिक समीकरणों के गुणनफल के रूप में फैक्टर किया जा सकता है।
x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) = 0
इस समीकरण के दो मूल x = -3 और x = -5 हैं।
2. द्विघात सूत्र:
हम द्विघात सूत्र का उपयोग करके भी मूलों को ज्ञात कर सकते हैं:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a
जहां a = 1, b = 8 और c = 15
x = (-8 ± √(8^2 – 4 * 1 * 15)) / 2 * 1
x = (-8 ± √(16)) / 2
x = (-8 ± 4) / 2
x = -2 या x = -6
निष्कर्ष:
दोनों तरीकों से हमें समान मूल प्राप्त होते हैं: x = -3 और x = -5.
अतिरिक्त जानकारी:
- इस समीकरण के मूलों का योग -8 है, जो कि -b/a के बराबर है।
- इस समीकरण के मूलों का गुणनफल 15 है, जो कि c/a के बराबर है।
समीकरण 2x^2 – 7x + 3 = 0 को हल करने के लिए हम दो तरीकों का उपयोग कर सकते हैं:
1. द्विघात सूत्र:
हम द्विघात सूत्र का उपयोग करके मूलों को ज्ञात कर सकते हैं:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a
जहां a = 2, b = -7 और c = 3
x = (-(-7) ± √((-7)^2 – 4 * 2 * 3)) / 2 * 2
x = (7 ± √(49 – 24)) / 4
x = (7 ± √25) / 4
x = (7 ± 5) / 4
x = 3 या x = 1/2
2. गुणनखंडन:
इस समीकरण को दो रैखिक समीकरणों के गुणनफल के रूप में फैक्टर नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह विधि इस समीकरण के लिए लागू नहीं है।
निष्कर्ष:
दोनों तरीकों से हमें समान मूल प्राप्त होते हैं: x = 3 और x = 1/2.
अतिरिक्त जानकारी:
- इस समीकरण के मूलों का योग 7/2 है, जो कि -b/a के बराबर है।
- इस समीकरण के मूलों का गुणनफल 3/2 है, जो कि c/a के बराबर है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि द्विघात सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना हमेशा सबसे आसान तरीका होता है, भले ही समीकरण को फैक्टर किया जा सके।
वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग करके समीकरण x^2 + 4x – 5 = 0 को हल करना
1. समीकरण को x^2 + 4x = 5 के रूप में लिखें।
2. समीकरण के दोनों ओर 4/4 (x^2 + 4x का आधा) जोड़ें।
x^2 + 4x + 4/4 = 5 + 4/4
3. बाएं हाथ की ओर को एक पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानें:
(x + 2)^2 = 9/4
4. वर्गमूल दोनों ओर लें:
x + 2 = ± 3/2
5. x के लिए हल करें:
x = -2 ± 3/2
6. दो संभावित मूलों को प्राप्त करें:
x = -1/2 या x = -7/2
निष्कर्ष:
वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग करके, हमें समीकरण x^2 + 4x – 5 = 0 के दो मूल मिले: x = -1/2 और x = -7/2.
अतिरिक्त जानकारी:
- इस समीकरण के मूलों का योग -3 है, जो कि -b/a के बराबर है।
- इस समीकरण के मूलों का गुणनफल -5 है, जो कि c/a के बराबर है.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके समीकरण 3x^2 + 5x – 2 = 0 को हल करना:
1. द्विघात सूत्र का उपयोग करें:
x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a
जहां a = 3, b = 5 और c = -2
2. मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
x = (-5 ± √(5^2 – 4 * 3 * -2)) / 2 * 3
x = (-5 ± √(49)) / 6
3. वर्गमूल ज्ञात करें:
x = (-5 ± 7) / 6
4. दो संभावित मूलों को प्राप्त करें:
x = 1/3 या x = -2
निष्कर्ष:
द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें समीकरण 3x^2 + 5x – 2 = 0 के दो मूल मिले: x = 1/3 और x = -2.
अतिरिक्त जानकारी:
- इस समीकरण के मूलों का योग -5/3 है, जो कि -b/a के बराबर है।
- इस समीकरण के मूलों का गुणनफल -2/3 है, जो कि c/a के बराबर है.