NCERT कक्षा 10 गणित: वास्तविक संख्याओं को समझने में आसान बनाएं (अंकगणित की मूल प्रमेय और अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भमन सहित)

वास्तविक संख्याएँ: अंकगणित की आधारभूत प्रमेय और अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भमण

वास्तविक संख्याएँ, गणित की दुनिया में एक महत्वपूर्ण अवधारणा हैं। ये संख्याएँ सभी संख्याओं का समूह हैं जिनका उपयोग हम अपने आसपास की दुनिया को मापने और गणना करने के लिए करते हैं। वास्तविक संख्याओं को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ।

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, परिमेय संख्याओं से संबंधित एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह प्रमेय कहती है कि 1 से अधिक प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, यदि आपके पास 1 से अधिक कोई भी पूर्णांक है, तो आप उसे अभाज्य संख्याओं (जैसे 2, 3, 5, 7, 11, आदि) के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं, और यह गुणनफल अद्वितीय होगा, यानी किसी अन्य तरीके से लिखा नहीं जा सकता।

उदाहरण:

• 12 = 2 * 2 * 3
• 15 = 3 * 5
• 28 = 2 * 2 * 7

अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भमण

अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, √2, π, e, आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।

अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भमण, एक अपरिमेय संख्या का व्युत्क्रमानुपाती (reciprocal) भी अपरिमेय संख्या होता है। दूसरे शब्दों में, यदि x एक अपरिमेय संख्या है, तो 1/x भी अपरिमेय संख्या होगी।

उदाहरण:

• √2 अपरिमेय संख्या है, तो 1/√2 भी अपरिमेय संख्या होगी।
• π अपरिमेय संख्या है, तो 1/π भी अपरिमेय संख्या होगी।

वास्तविक संख्याओं का महत्व

वास्तविक संख्याएँ हमारे दैनिक जीवन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। हम इनका उपयोग दूरी, समय, तापमान, द्रव्यमान, और अन्य भौतिक राशियों को मापने के लिए करते हैं। वास्तविक संख्याओं का उपयोग गणित, विज्ञान, इंजीनियरिंग, और अर्थशास्त्र सहित कई क्षेत्रों में भी किया जाता है।

निष्कर्ष

वास्तविक संख्याएँ, गणित की दुनिया में एक महत्वपूर्ण अवधारणा हैं। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय और अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भमण, वास्तविक संख्याओं से संबंधित दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। इन अवधारणाओं को समझना, गणित और अन्य क्षेत्रों में सफलता के लिए महत्वपूर्ण है।

वास्तविक संख्याओं पर बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

निम्नलिखित प्रश्नों के लिए सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें।

1. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित में से कौन सी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता है? (a) 12 (b) 18 (c) 23 (d) 36
2. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या अपरिमेय संख्या है? (a) 1/2 (b) √4 (c) √3 (d) 10
3. 28 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में किस प्रकार लिखा जा सकता है? (a) 2 * 7 (b) 2 * 2 * 7 (c) 3 * 7 (d) 4 * 7
4. यदि x एक अपरिमेय संख्या है, तो 1/x क्या होगा? (a) एक पूर्णांक (b) एक परिमेय संख्या (c) हमेशा एक अपरिमेय संख्या (d) हमेशा एक धनात्मक संख्या
5. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या वास्तविक संख्या नहीं है? (a) √9 (b) π (c) ∞ (अनंत) (d) 1/3
6. निम्नलिखित में से कौन सी अभाज्य संख्या है? (a) 6 (b) 10 (c) 13 (d) 15
7. 15 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में किस प्रकार लिखा जा सकता है? (a) 3 * 5 (b) 3 * 7 (c) 5 * 7 (d) 2 * 3 * 5
8. निम्नलिखित युग्मों में से कौन सा युग्म असत्य है? (a) परिमेय संख्या: पूर्णांकों और भिन्नों का संग्रह (b) अपरिमेय संख्या: दशमलव जो ना तो समापक है और ना ही आवर्ती दशमलव है (c) वास्तविक संख्या: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संग्रह (d) पूर्णांक: धनात्मक, 0 और ऋणात्मक संख्याएँ जो दशमलव नहीं होतीं
9. निम्नलिखित में से कौन सा वास्तविक संख्याओं के अंतर्गत नहीं आता है? (a) √16 (b) -7 (c) 22/7 (d) √2
10. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या का व्युत्क्रमान (reciprocal) एक अपरिमेय संख्या होगी? (a) 10 (b) 1/2 (c) √7 (d) 3

वास्तविक संख्याओं पर बहुविकल्पीय प्रश्नों के उत्तर

1. (c) 23
2. (c) √3
3. (b) 2 * 2 * 7
4. (c) हमेशा एक अपरिमेय संख्या
5. (c) ∞ (अनंत)
6. (c) 13
7. (a) 3 * 5
8. (d) पूर्णांक: धनात्मक, 0 और ऋणात्मक संख्याएँ जो दशमलव नहीं होतीं
   • पूर्णांक में दशमलव भी शामिल हो सकते हैं, ये सिर्फ भिन्न नहीं होते हैं।
9. (c) 22/7
   • 22/7 एक परिमेय संख्या है, जिसे दशमलव में लिखने पर एक गैर-समापक, गैर-आवर्ती दशमलव प्राप्त होता है। वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल होती हैं।
10. (c) √7

वास्तविक संख्याओं पर 10 लघु प्रश्नोत्तर

1. प्रश्न: अंकगणित की आधारभूत प्रमेय क्या कहती है? उत्तर: यह प्रमेय कहती है कि 1 से अधिक प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से लिखा जा सकता है।
2. प्रश्न: अपरिमेय संख्या किसे कहते हैं? उत्तर: अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
3. प्रश्न: 18 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में कैसे लिखा जा सकता है? उत्तर: 18 = 2 * 3 * 3
4. यदि x एक अपरिमेय संख्या है, तो 1/x क्या होगा? उत्तर: 1/x भी एक अपरिमेय संख्या होगी।
5. वास्तविक संख्याओं में कौन सी संख्याएँ शामिल होती हैं? उत्तर: वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याएँ (जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है) और अपरिमेय संख्याएँ (जिन्हें भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है) दोनों शामिल होती हैं।
6. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या वास्तविक संख्या नहीं है? (a) √25, (b) √7, (c) ∞, (d) 5/3 उत्तर: (c) ∞ (अनंत)
7. निम्नलिखित में से कौन सी अभाज्य संख्या है? (a) 8, (b) 11, (c) 14, (d) 18 उत्तर: (b) 11
8. पूर्णांक किसे कहते हैं? उत्तर: पूर्णांक धनात्मक, 0 और ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं, जिन्हें दशमलव के रूप में नहीं लिखा जा सकता (उदाहरण: 5, -3, 0)।
9. 2π एक वास्तविक संख्या है? उत्तर: हाँ, 2π एक वास्तविक संख्या है।
10. √16 का दशमलव स्वरूप क्या होगा? उत्तर: √16 = 4

वास्तविक जीवन में वास्तविक संख्याओं के कुछ उदाहरण:

1. दूरी: जब आप किसी स्थान से दूसरे स्थान की दूरी मापते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, दिल्ली से आगरा की दूरी 204 किलोमीटर है।

2. समय: जब आप समय मापते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक घंटे में 60 मिनट होते हैं।

3. तापमान: जब आप तापमान मापते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, पानी का उबलता तापमान 100 डिग्री सेल्सियस है।

4. द्रव्यमान: जब आप किसी वस्तु का द्रव्यमान मापते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक सेब का द्रव्यमान 200 ग्राम हो सकता है।

5. धन: जब आप धन की गणना करते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक किलो चावल की कीमत ₹50 हो सकती है।

6. गति: जब आप गति मापते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक कार 60 किलोमीटर प्रति घंटे की गति से चल रही है।

7. क्षेत्रफल: जब आप किसी आकृति का क्षेत्रफल मापते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक वर्ग का क्षेत्रफल 16 वर्ग मीटर हो सकता है।

8. आयतन: जब आप किसी वस्तु का आयतन मापते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक घन का आयतन 64 घन मीटर हो सकता है।

9. जनसंख्या: जब आप किसी देश या शहर की जनसंख्या मापते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, भारत की जनसंख्या 138 करोड़ है।

10. ब्याज दर: जब आप ब्याज दर की गणना करते हैं, तो आप वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक बैंक 10% प्रति वर्ष की ब्याज दर दे रहा है।

यह केवल कुछ उदाहरण हैं। वास्तविक संख्याओं का उपयोग हमारे जीवन के लगभग हर पहलू में किया जाता है।

परीक्षा तैयारी हेतु उपरोक्त संदर्भ में टिप्स:

1. अवधारणाओं को समझें:

• अंकगणित की आधारभूत प्रमेय
• परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ
• वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण (पूर्णांक, भिन्न, दशमलव, आदि)
• वास्तविक संख्याओं के गुणधर्म (योग, घटाव, गुणा, भाग)

2. अभ्यास करें:

• विभिन्न प्रकार के प्रश्नों का अभ्यास करें, जैसे:
  • सत्य/असत्य
  • बहुविकल्पीय प्रश्न
  • रिक्त स्थान भरें
  • लघु उत्तर प्रश्न
  • दीर्घ उत्तर प्रश्न
• पिछले वर्षों के प्रश्नपत्रों का अभ्यास करें

3. समय प्रबंधन:

• परीक्षा में समय का सदुपयोग करें
• प्रत्येक प्रश्न के लिए उचित समय दें
• कठिन प्रश्नों को बाद के लिए छोड़ दें

4. रणनीति बनाएं:

• अपनी कमजोरियों पर ध्यान दें
• अपनी गलतियों से सीखें
• परीक्षा के लिए एक योजना बनाएं

5. आत्मविश्वास बनाए रखें:

• सकारात्मक रहें
• अपनी क्षमताओं पर विश्वास रखें
• शांत और एकाग्र रहें

कुछ अतिरिक्त टिप्स:

• अपनी पाठ्यपुस्तक और NCERT की किताबों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।
• विभिन्न ऑनलाइन संसाधनों का उपयोग करें, जैसे कि YouTube वीडियो और Khan Academy.
• अपने शिक्षकों और सहपाठियों से सहायता लें।
• नियमित रूप से अभ्यास करें और रिवीजन करें।
• परीक्षा के लिए अच्छी तरह से तैयारी करें और आत्मविश्वास से परीक्षा दें।

यह भी ध्यान रखें:

• परीक्षा में केवल पाठ्यक्रम में शामिल अवधारणाओं से संबंधित प्रश्न पूछे जाएंगे।
• अपनी गलतियों को कम करने का प्रयास करें।
• समय पर परीक्षा केंद्र पर पहुंचें।

परीक्षा में शुभकामनाएं!